中國科學(xué)院院士、數(shù)學(xué)家袁亞湘在《數(shù)學(xué)漫談》中指出：數(shù)學(xué)之慧在于數(shù)學(xué)需要想象力。有人認為，想象力是天生的，后天難以改變。我不同意這一說法。人和人之間的天賦會有差異，但任何人的想象能力只要經(jīng)過培養(yǎng)和啟發(fā)，就一定可以得到提高。數(shù)學(xué)想象力關(guān)鍵在于“激發(fā)”和“培育”，要善于發(fā)現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)想象潛能，為其發(fā)展創(chuàng)造條件、指示方向、提供實踐機會等，使其數(shù)學(xué)想象潛能最大限度地得以發(fā)揮與施展。

要使學(xué)生的數(shù)學(xué)想象力有效提升，必須了解和遵從數(shù)學(xué)想象的機理。數(shù)學(xué)想象本質(zhì)上是一種“自由知性主觀下的再生”，還有比“知性主觀”更高層次的，如“靈性”“智性”的“主觀”。數(shù)學(xué)想象力要素有感覺、直覺、經(jīng)驗、知識、聯(lián)想、選擇、類比、猜想、合成，等等。數(shù)學(xué)想象力是一種統(tǒng)合、集成感知覺與其他神經(jīng)機能，賦予事物新形式、新認知的能力。數(shù)學(xué)想象的基礎(chǔ)是記憶表象、知識的回憶、聯(lián)想，基本要求是“新奇與合理的統(tǒng)一”，往往遵循的是異常、超常、反常邏輯。作為一種高級智能，數(shù)學(xué)想象是數(shù)學(xué)知識運用、數(shù)學(xué)才能、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)智慧的綜合顯示，是一種連接感性和知性的高級認知過程，本質(zhì)上是一種形象思維，數(shù)學(xué)知識的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造很大程度上也是根源于這種形象思維。數(shù)學(xué)想象涉及表象的分解、組合、類比、聯(lián)想，最后才是想象。在數(shù)學(xué)想象過程中，需要選出數(shù)學(xué)知識之間不同的要素，嘗試進行不同組合，看看怎樣會起作用，并根據(jù)已有知識來取舍。

如何強化數(shù)學(xué)想象力？既要增加數(shù)學(xué)知識儲備，又要適時跳出思維定式，靈活組合數(shù)學(xué)知識。在數(shù)學(xué)想象的過程中，數(shù)學(xué)知識是想象力通往現(xiàn)實的橋梁和道路，在邏輯力的帶領(lǐng)下，想象力才能有目的有方向地“照進現(xiàn)實”。很多人的想象力很豐富，想的很多，但沒有足夠的數(shù)學(xué)能力和才華，就會在駕馭想象力方面力不從心。而數(shù)學(xué)才華和能力，本質(zhì)上就是邏輯思維和數(shù)學(xué)知識的靈活運用。

其實，數(shù)學(xué)想象力也是分等級的，它是由數(shù)學(xué)幻想抽象能力、數(shù)學(xué)幻想意象能力、數(shù)學(xué)幻想形象能力、數(shù)學(xué)幻想具象能力和數(shù)學(xué)想象的能力所組成。每一級別想象力的實現(xiàn)，都需要不同量級的新信息和知識作為橋梁和通路，同時，需要自由探索和操作實踐。正如著名數(shù)學(xué)家懷特海所指出的，整個數(shù)學(xué)所涵括的正是組織起一系列協(xié)助我們在思考過程中補助想象的工具。不同數(shù)學(xué)想象力等級的人，其數(shù)學(xué)成就通常也不同。我們所能做的就是力求讓數(shù)學(xué)想象的不同層級之間進行轉(zhuǎn)變、提升和迭代躍級。這需要了解、探究和遵從數(shù)學(xué)想象的機理，精心設(shè)計并有效組織實施，積累豐富的實踐經(jīng)驗。

培育數(shù)學(xué)想象力，關(guān)鍵在于學(xué)會數(shù)學(xué)家“做數(shù)學(xué)”的思維方式。實踐中，養(yǎng)護數(shù)學(xué)想象力的數(shù)學(xué)教育，應(yīng)滲透到學(xué)生的數(shù)學(xué)求知與認知建構(gòu)中。想象是最自由的思考，可以超越時間、空間和邏輯。數(shù)學(xué)認知、思維與創(chuàng)造的邊界，就是數(shù)學(xué)想象力到達的邊界。正如法國作家雨果所說：“想象就是深度，這正是我們已經(jīng)指出的，并且為思想家所共知的一個真理……科學(xué)到了最后階段，便遇上了想象。”雨果說的“科學(xué)到了最后階段，便遇上了想象”似可商榷。事實上，在最初階段，當(dāng)數(shù)學(xué)家面對感興趣的事物時便會遇到想象。數(shù)學(xué)教育要養(yǎng)護數(shù)學(xué)想象原動力——數(shù)學(xué)家的詩性、自由精神，養(yǎng)護其源泉——本能、天賦、游戲……與世界靈性、智性對話的欲求。想象是心的游戲，是不管和事實距離多大，只以自己為對象的任意的游戲。數(shù)學(xué)想象力源于數(shù)學(xué)家本性中的游戲精神。數(shù)學(xué)家的詩性精神是數(shù)學(xué)想象力不竭的動力來源，要精心維護和保養(yǎng)。數(shù)學(xué)游戲是數(shù)學(xué)家們想象力創(chuàng)造世界的預(yù)演，是數(shù)學(xué)想象本能、智慧的嶄露頭角，也是數(shù)學(xué)創(chuàng)造與發(fā)現(xiàn)、發(fā)明的萌芽。

數(shù)學(xué)思維的奧秘就在于數(shù)學(xué)家獨特的思考方式。數(shù)學(xué)家善于抽象，能夠?qū)F(xiàn)實世界中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型、猜想或假設(shè)，并通過邏輯推理來驗證。在此，數(shù)學(xué)家的想象力使得他們能夠不斷超越數(shù)學(xué)的邊界，發(fā)現(xiàn)新的思路、方法、問題和理論。正如菲爾茨獎獲得者陶哲軒曾指出的那樣：創(chuàng)造力是一個數(shù)學(xué)家最基本的素養(yǎng)。數(shù)學(xué)思維就是游戲思維，就是窮盡你的想象力去創(chuàng)造一個世界，然后用嚴謹?shù)恼撟C和邏輯推理去得到一個答案。這是一種高度抽象并解決問題的能力，這才是數(shù)學(xué)真正能賦予孩子更多可能性的東西。

實踐中，數(shù)學(xué)知識的發(fā)展一般都要經(jīng)歷漫長的歷史進程，其中不乏艱難與曲折，離不開數(shù)學(xué)家們執(zhí)著奮斗與努力想象的過程。只是為了簡明起見，編寫教材時所有的數(shù)學(xué)知識（概念、原理）都以定論（定義、定理、公式等）形式出現(xiàn)，幾乎全部略去了數(shù)學(xué)知識發(fā)生的過程與數(shù)學(xué)概念的形成探索過程，這對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)想象力顯然是不利的。各個層次的數(shù)學(xué)課程中都缺失了這樣重要的一環(huán)——對模糊和混亂的數(shù)學(xué)知識創(chuàng)造過程的忠實描述，而這個缺失是數(shù)學(xué)課讓最積極的學(xué)生也難以養(yǎng)成數(shù)學(xué)想象力的主要原因之一。如果對數(shù)學(xué)概念創(chuàng)造過程中的“思想之舞”沒有深刻認識，就無法充分領(lǐng)悟數(shù)學(xué)想象的魅力和美麗，也無法體會數(shù)學(xué)想象在數(shù)學(xué)創(chuàng)造過程中的作用。我們應(yīng)努力挖掘和創(chuàng)造條件，盡量為想象力發(fā)展架橋開路，提供愉悅、順暢的發(fā)展環(huán)境，讓想象力的種子能自由地生根、發(fā)芽。

然而我們看到，當(dāng)前數(shù)學(xué)教育界對養(yǎng)護想象力存在一定的認識誤區(qū)，還普遍存在著“數(shù)學(xué)想象是數(shù)學(xué)家的專利，數(shù)學(xué)想象只有從事數(shù)學(xué)創(chuàng)造的數(shù)學(xué)家才需要，一般學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并不需要數(shù)學(xué)想象”的認識。一些人要么認為“數(shù)學(xué)想象力是一種可訓(xùn)練的技能，與天賦無關(guān)”，要么認為“數(shù)學(xué)想象力由天賦決定無法培育”，還有人認為“培育數(shù)學(xué)想象力與數(shù)學(xué)知識的教育之間存在矛盾，數(shù)學(xué)知識的教育是反想象的，數(shù)學(xué)知識學(xué)多了就會失去數(shù)學(xué)想象力”。

事實上，任何一個孩子都具有想象力的潛能，他們有時天馬行空、稀奇古怪的想法其實正是其可貴的想象力的火花。我們要精心呵護孩子頭腦中產(chǎn)生的想象力火花，要將培育數(shù)學(xué)想象力作為數(shù)學(xué)智育的重要追求，扎扎實實、持之以恒地落實在數(shù)學(xué)教育實踐中。

至于“培育數(shù)學(xué)想象力與數(shù)學(xué)知識的教育之間存在矛盾”，也許不無道理。數(shù)學(xué)知識的教育追求精確、統(tǒng)一、規(guī)范，數(shù)學(xué)想象力則重猜測、求異、反規(guī)范。數(shù)學(xué)知識的教育，尤其授受式、封閉式的教育，確實會對數(shù)學(xué)想象力發(fā)展造成一定的抑制，但只要處理好二者關(guān)系，采用開放式而非封閉式、存在式而非占有式的教學(xué)方法，使數(shù)學(xué)知識的教育與喚醒開發(fā)數(shù)學(xué)想象力相伴而行，其矛盾并非不可調(diào)和。正如蘇聯(lián)教育家蘇霍姆林斯基所說：“教師把準(zhǔn)備好的種種原理、結(jié)論和推理一股腦兒塞進兒童的腦子，往往不讓兒童有可能哪怕接觸一下思維和活的言語的源泉，這就捆住了他們的幻想、想象力和創(chuàng)造力的翅膀?！北３謹?shù)學(xué)理性與感性生活的交融，讓孩子不斷地得到思維激活，數(shù)學(xué)想象力才不會枯竭；以充滿想象力的方式傳知、求知，這樣的數(shù)學(xué)知識教育才能反哺數(shù)學(xué)想象力的養(yǎng)成。

（作者：徐彥輝，系溫州大學(xué)數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育研究所所長、數(shù)理學(xué)院副教授）

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